Dressgold.ru

Женский интернет журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Бинарные отношения — MT1102: Линейная алгебра (введение в математику) — Бизнес-информатика. Бинарные отношения. Примеры бинарных отношений

Бинарные отношения

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $langle x,y rangle $ является элементом R, т.е. $langle x,y ranglein R. $

Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $ xRyleftrightarrowlangle x,yranglein R.$

Если $Rsubset Atimes A $, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.

Примеры бинарных отношений:

  • на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
  • на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
  • на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».

Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $langle x,y ranglein R $ хотя бы для одного $y$.
Область определения бинарного отношения будем обозначать $ Re R$.
$Re R=< x|exists y(langle x,yranglein R)>$
Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $langle x,y ranglein R $ хотя бы для одного $x$.
Область значений бинарного отношения будем обозначать $Im R$
$Im R=< y|exists x(langle x,yranglein R)>$

Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество $$ и обозначается, как $^<-1>.$

Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество $$ и обозначается, как $Rcirc S$.

Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:

  • Рефлексивность: $forall xin M(xRx)$
  • Антирефлексивность (иррефлексивность): $forall xin Mneg (xRx)$
  • Корефлексивность: $forall x,yin M(xRyRightarrow x=y)$
  • Симметричность: $forall x,yin M(xRyRightarrow yRx)$
  • Антисимметричность: $forall x,yin M(xRywedge yRxRightarrow x=y)$
  • Асимметричность: $forall x,yin M(xRyRightarrowneg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
  • Транзитивность: $forall x,y,zin M(xRywedge yRzRightarrow xRz)$
  • Связность: $forall x,yin M(xneq yRightarrow xRylor yRx)$

Виды отношений

  • Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
  • Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
  • Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
  • Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
  • Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка

Операции над отношениями

Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.

    Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $Acap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).

Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

Графическое представление бинарных отношений

Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = .$
Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R=<(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)>.$

Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $langle x,yrangle $ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.

Задача

Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A=<1,2,3,4>$, определить его свойства.
$R=<(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)>$

Проверим все свойства отношения:

  • Рефлексивность
    $(forall xin A)langle x,xranglein R$ – это ложное высказывание.
    Можно привести контрпример: $x=3$, пара $langle 3,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным.
  • Антирефлексивность
    $(forall xin A)langle x,xranglenotin R$ – это ложное высказывание.
    Можно привести контрпример: $x=1$, пара $langle 1,1rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
  • Корефлексивность
    $(forall x,yin A)langle x,yranglenotin R$ – это ложное высказывание.
    Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству $R$, но $xneq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
  • Симметричность
    $ forall x,yin A (langle x,yranglein R): langle y,xranglein R$ – это ложное высказывание.
    Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $langle 2,1rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным.
  • Антисимметричность
    $forall x,yin A(xRywedge yRxRightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
    Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.
  • Асимметричность
    Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.
  • Транзитивность
    $forall x,y,zin A(xRywedge yRzRightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
    Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству R и пара $langle 2,3rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $langle 1,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным.
  • Связность
    $forall x,yin A(xneq yRightarrow xRylor yRx)$ – это ложное высказывание.
    Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3neq 4$ пара $langle 3,4rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $langle 4,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным.

Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.

Бинарное отношение

Определение 1. Бинарным отношением 1) между множествами $ A $и $ B $называется любое подмножество $rho$прямого произведения $A times B$. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары $(x,y)$к бинарному отношению $rho$вместо записи $(x,y)inrho$используют обозначения $rho(x,y)$или $xrho y$. При этом говорят, что $ x $находится в отношении $rho$к $ y $.

Если $A=B$, то говорят, что $rho$задано на множестве $ A $.

Пример 1. Пусть $A=<a,b,c,d,e,f,g,h data-lazy-src=

Пример 2. На множестве целых чисел $mathbb<Z data-lazy-src=

Пример 3. На множестве действительных чисел $mathbb<R data-lazy-src=

≤

Пример 4. Для функции $f:Xrightarrow Y$ее график $Gamma(f)=<(x,y)vert y=f(x),xin X data-lazy-src=

Свойства бинарного отношения на множестве

Определение 2. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством рефлексивности 2) , если $(x,x)inrho$для всех $xin A$.

Определение 3. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством антирефлексивности 3) , если $(x,x)notinrho$для всех $xin A$.

Определение 4. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством симметричности 4) , если $(x,y)inrho$влечет за собой $(y,x)inrho$для всех $x,yin A$.

Определение 5. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством антисимметричности 5) , если $(x,y)inrho$, $xneq y$, влечет за собой $(y,x)notinrho$для всех $x,yin A$.

Определение 6. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством транзитивности 6) , если $(x,y)inrho$и $(y,z)inrho$влечет за собой $(x,z)inrho$для всех $x,y,zin A$.

Определение 7. Говорят, что бинарное отношение $rho$на множестве $ A $обладает свойством связанности 7) , если $(x,y)inrho$или $(y,x)inrho$для всех $x,yin A$.

Пример 5. Отношение делимости целых чисел из примера 2 является

рефлексивным: любое целое число $ m $делится на себя, то есть $mvdots m$;
транзитивным: если $ m $делится на $ n $, а $ n $делится на $ k $, то $ m $делится на $ k $.

Пример 6. Отношение порядка $leqslant$из примера 3 обладает свойствами

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Преподаватель О.В. Козлова ГАПОУ КК«НКСЭ» — презентация

Презентация на тему: » БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Преподаватель О.В. Козлова ГАПОУ КК«НКСЭ»» — Транскрипт:

1 БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Преподаватель О.В. Козлова ГАПОУ КК«НКСЭ»

2 Цель занятия Познакомиться с понятием бинарного отношения и его классификацией

3 Отношение – это одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, процессов в природе, обществе и мышлении. Спектр отношений на множествах многоаспектен, начиная с определения понятия множества, аксиоматики и заканчивая разбором парадоксов. Различных отношений на множестве бесконечно. Но, когда говорят об бинарных отношениях, то подразумевают отношения между двумя величинами, объектами, высказываниями.

4 Бинарные отношения уже встречались в школьном курсе математики. Примерами таких отношений являются отношения неравенства, равенства, подобия, параллельности, делимости и пр. Бинарное отношение каждым двум объектам сопоставляет логическое значение «да», если объекты находятся в этом отношении, и «нет» в ином случае. Другими словами, множество пар объектов разбивается на два подмножества, пары первого подмножества находятся в данном отношении, а второго — не находятся. Это свойство можно положить в основу определения бинарного отношения.

5 Определение Пусть задано множество М. Рассмотрим декартово произведение этого множества на себя М х М.

6 Определение Пусть задано множество М. Рассмотрим декартово произведение этого множества на себя М х М. Подмножество R множества М х М называется бинарным отношением R на множестве М. Если пара (х;у) принадлежит множеству R, говорят, что элемент х находится в отношении R с элементом у, и записывают xRy.

7 Пример 1. Введем отношение сравнимости R: х сравнимо с у по модулю т тогда и только тогда, когда х и у имеют одинаковые остатки от деления на т. То есть х = у (mod m).

8 Пример 1. Введем отношение сравнимости R: х сравнимо с у по модулю т тогда и только тогда, когда х и у имеют одинаковые остатки от деления на т. То есть х = у (mod m). Рассмотрим введенное отношение R для случая т = 3 на множестве М = <1; 2; 3; 4; 5; б>; тогда М х М

9 Пример 1. Введем отношение сравнимости R: х сравнимо с у по модулю т тогда и только тогда, когда х и у имеют одинаковые остатки от деления на т. То есть х = у (mod m). Рассмотрим введенное отношение R для случая т = 3 на множестве М = <1; 2; 3; 4; 5; б>; тогда М х М (1;1)(1 ; 2)(1;3)(1:4)(1;5)(1;6) (2;1)(2 ; 2)(2;3)(2; 4)(2 ; 5)(2; 6); (3;1)(3 ; 2)(3;3)(3;4)(3 ; 5)(3;6); (4;1)(4 ; 2)(4;3)(4; 4)(4 ; 5)(4; 6); (5;1)(5;2)(5;3)(5; 4)(5 ; 5)(5; 6); (б;1)(6 ; 2)(6;3)(6; 4)(6 ; 5)(6; 6)

10 Пример 2. На множестве М = <1; 2; 3; 4; 5; 6>задано отношение делимости: xRy тогда и только тогда, когда х делится на у. Сколько пар содержит это отношение? Перечислите эти пары.

11 Пример 3. Введем на множестве М = <1; 2; 3; 4; 5; 6>отношение взаимной простоты, т. е. xRy тогда и только тогда, когда х и у взаимно просты: D(x;y) = 1. Сколько пар содержит это отношение? Перечислите эти пары.

12 Бинарные отношения Рефлексивность: рефлексивные, нерефлексивные, антирефлексивные Симметричность: симметричные, несимметричные, асимметричные, антисимметричные Транзитивность: транзитивные, нетранзитивные, антитранзитивные

13 Рефлексивность Определение 1. Бинарное отношение R на множестве М называется рефлексивным, если каждый элемент этого множества находится в отношении с самим собой: xRx х М.

14 Рефлексивность Определение 1. Бинарное отношение R на множестве М называется рефлексивным, если каждый элемент этого множества находится в отношении с самим собой: xRx х М. Пример. 1. Отношение сравнимости рефлексивно (при любом натуральном т и на любом множестве целых чисел). 2. Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел не рефлексивно. 3. Отношение делимости рефлексивно (на любом множестве целых чисел, не содержащем нуля).

15 Рефлексивность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется антирефлексивным, если ни один элемент этого множества не находится в отношении с самим собой: х М неверно, что xRx.

16 Рефлексивность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется антирефлексивным, если ни один элемент этого множества не находится в отношении с самим собой: х М неверно, что xRx. Пример. 1. Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел антирефлексивно. 2. Отношение взаимной простоты антирефлексивно на любом множестве целых чисел, не содержащем 1 и 1; рефлексивно на множествах <1>,<1>, <1; 1>и не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным в ином случае.

17 Симметричность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется симметричным, если вместе с каждой парой (х;у) в отношение входит и симметричная пара (у; х): х, у M xRy = yRx.

18 Симметричность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется симметричным, если вместе с каждой парой (х;у) в отношение входит и симметричная пара (у; х): х, у M xRy = yRx. Пример. 1. Отношение сравнимости симметрично при любом натуральном т и на любом множестве целых чисел. 2. Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел не симметрично. 3. Отношение взаимной простоты симметрично на любом множестве целых чисел.

19 Симметричность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется асимметричным, если ни одна пара не входит в отношение вместе с симметричной ей: х, у М, если xRy, то неверно, что yRx. Пример. 1. Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел асимметрично. 2. Отношение делимости не является асимметричным ни на каком множестве целых чисел, не содержащем нуля.

20 Симметричность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется антисимметричным, если никакая пара, состоящая из разных элементов, не входит в отношение вместе с симметричной ей: х, у М, если xRy и yRx, то х = у.

21 Симметричность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется антисимметричным, если никакая пара, состоящая из разных элементов, не входит в отношение вместе с симметричной ей: х, у М, если xRy и yRx, то х = у. Пример. 1. Отношение нестрогого неравенства на множестве вещественных чисел антисимметрично. 2. Отношение делимости является антисимметричным на любом множестве целых чисел, не содержащем нуля.

22 Транзитивность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется транзитивным, если вместе с парами (х; у) и (у; z) в отношение входит и пара (х, z), т. е. х,у,z М, если xRy и yRz, то xRz. Замечание. Свойство транзитивности хорошо иллюстрируется отношением достижимости: если пункт у достижим из пункта х, а из пункт z — из пункта у, то пункт z достижим из пункта х.

23 Транзитивность Определение. Бинарное отношение R на множестве М называется транзитивным, если вместе с парами (х; у) и (у; z) в отношение входит и пара (х, z), т. е. х,у,z М, если xRy и yRz, то xRz. Пример 1. Отношение сравнимости транзитивно при любом натуральном т и на любом множестве целых чисел. 2. Отношение строгого (нестрогого) неравенства транзитивно на любом подмножестве вещественных чисел. 3. Отношение взаимной простоты не является транзитивным на любом множестве целых чисел. Например, 2 взаимно просто с 3; 3 взаимно просто с 4, но 2 и 4 не взаимно просты.

24 Ответьте на вопросы: 1. Верно ли, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно? Докажите. 2. Верно ли, что симметричное отношение всегда рефлексивно? Докажите. 3. Верно ли, что асимметричное отношение всегда антисимметрично? Докажите. 4. Верно ли, что отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и антисимметрично? Докажите.

26 Контрольные вопросы: 1. Что понимается под соответствием между множествами? 2. Какое отношение называется бинарным? 3. Какое бинарное отношение называется рефлексивным? Приведите пример. 4. Какое бинарное отношение называется антирефлексивным? Приведите пример. 5. Какое бинарное отношение называется симметричным? Приведите пример. 6. Какое бинарное отношение называется асимметричным? Приведите пример. 7. Какое бинарное отношение называется антисимметричным? Приведите пример. 8. Какое бинарное отношение называется транзитивным? Приведите пример.

27 Упражнения 1. Укажите, какие отношения из указанных являются рефлексивными, симметричными и транзитивными на множестве натуральных чисел: а) R= (х, y) х у ; б) R= (х, y) у делится без остатка на х ; в) R= (х, y) х и у при делении на 3 дают остаток 2.

28 Упражнения 2. Укажите, какие отношения из указанных являются рефлексивными, симметричными и транзитивными на множестве векторов: а) R= (х, y) х коллинеарен у ; б) R= (х, y) х у ; в) R= (х, y) х = 2у.

29 Домашнее задание 1. Укажите, каким свойством обладает данное отношение (рефлексивности, симметричности, транзитивности) на множестве натуральных чисел, если R= (х, y) х и у имеют общий делитель, отличный от Каждый десятый математик – шахматист, а каждый пятый шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов? Во сколько раз?

Бинарные отношения

Понятие отношения наряду с понятием множества «пронизывает» всю математику. Интуитивно отношение понимается как связь объектов. Наша задача заключается в том, чтобы, используя сформулированные выше конструкции теории множеств, определить на математическом языке, что же понимается в математике под термином «отношение».

Бинарные отношения на множестве

Пусть дано множество А. Связь элементов хну множества А моделируется парой (ду>). Если элемент х связан с у, значит, мы имеем пару (л:,у) в качестве элемента некоторого множества; если д; не связан с у, значит, пара (л:^) не является объектом множества. Итак, имеем следующее определение.

Бинарным отношением на множестве А называется произвольное множество пар элементов из А.

Другими словами, бинарное отношение на множестве А — ото подмножество прямого произведения АхА=А 2 . В частности, само множество А 2 всех пар является бинарным отношением.

По аналогии с бинарным (или двуместным) отношением можно рассматривать п-местное отношение на множестве как подмножество прямого произведения А». Мы в основном будем рассматривать бинарные отношения, но для краткости речи говорить просто: «отношение на множестве А».

Обозначим произвольное бинарное отношение греческой буквой р.

Если (л’,у )е р, то говорят, что л» находится в отношении р с у, и пишут

Если (ду)?Р> то имеем отрицание соответствующего утверждения. В этом случае наряду с записью

|(хру) (или хру) пишут д-ру, перечеркивая знак отношения.

Пример 8.1.1. Рассмотрим множество А = <1,2,3,4,5>. Множество пар

определяет на А отношение «меньше», обозначаемое знаком >) еЛ 2 Р(ху)>. Также используется запись:

Читают: «г находится в отношении с у тогда и только тогда, когда истинно Р(ху)».

Пример 8.1.4. Определим на множестве/! = <1,2,3,4,5>отношение:

Здесь Р(ху) = (л+2=у). Зададим это отношение перечислением пар:

Пример 8.1.5. Зададим на множестве Z (или на множестве N) отношение с помощью предложения: «Существует целое число /?, такое, что х=п у». Символически можно записать:

Имеем уже определенное ранее отношение делимости, обозначаемое знаком :. Этому отношению принадлежат такие пары, как (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) и другие. В отличие от предыдущих примеров это множество пар бесконечно, и перечислить все пары не удастся. •

Рассмотрим важнейшие свойства, которыми могут обладать бинарные отношения на множестве.

Отношение р на множестве А называется рефлексивным, если любой элемент х из А находится в отношении р сам с собой, то есть для всех д; из А выполняется лрт:

Пример 8.1.6. Рассмотрим отношение делимости на множестве Z. Возьмем произвольное целое число х. Так как х=х 9 то х‘:х. Значит, любое целое число делится на само себя: V.veZ (л:л). Поэтому отношение делимости рефлексивно.

Так как любое множество является подмножеством самого себя, то отношение включения множеств рефлексивно (на любой совокупности множеств). •

Отношение р на множестве А называется аитирефлексивным, если ни один элемент множества А не находится в отношении р с самим собой:

Пример 8.1.7. Отношение «меньше» на множестве R антирефлексивно, так как никакое число не меньше самого себя. •

Построим отрицание к предложению «Отношение р рефлексивно»:

Таким образом, отношение р не является рефлексивным тогда и только тогда, когда существует элемент хеА, который не находится в отношении р сам с собой. Отношение, не являющееся рефлексивным, не обязано быть аитирефлексивным.

Пример 8.1.8. Рассмотрим отношение на множестве R, заданное предложением «Число х противоположно числу у». Число х называется противоположным числу у, если сумма х+у равна 0.

Это отношение не рефлексивно. Контрпример: х=1. Так как 1 + 1*0, то число 1 не противоположно 1.

Это отношение нс антирефлексивно. Контрпример: ,v=0. Так как 0+0=0, то число 0 противоположно 0. •

Отношение р на множестве А называется симметричным, если из того, что х находится в отношении р с у, следует, что у находится в отношении р с

Пример 8.1.9. Из тождества х+у=у+.х вытекает утверждение: для любых действительных чисел х и у если х противоположно v, то у противоположно х. Значит, данное отношение симметрично. Часто говорят просто: «Числа х и у противоположны».

Отношение «Число х меньше числа у» на множестве R не является симметричным: 3 меньше 4, но 4 не меньше 3. •

Отношение р на множестве А называется антисимметричным, если ни для каких различных элементов х и у из А, таких, что хру, не выполняется

урх:

Пример 8.1.10. Отношение «меньше» на множестве R антисимметрично. •

Определение антисимметричного отношения можно сформулировать другими способами. Введем обозначения:

Используя таблицу истинности, можно доказать, что формула 1Р л М —равносильна формуле М л К —> Р, которая, в свою очередь, по правилу контрапозиции равносильна 1Р —>

|(Л/ л К). На основании этого можно сказать, что отношение р является антисимметричным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равносильных условий:

А) Из того, что хру и урх, следует х=у:

Б) Никакие различные элементы не могут одновременно находиться в отношении р друг с другом.

Пример 8.1.11. Рассмотрим отношение включения на произвольном семействе множеств. Так как ЛсУл Y^X=>X=Y, то включение е есть антисимметричное отношение. •

Пример 8.1.12. Отношение делимости на множестве Z не является ни симметричным, ни антисимметричным. Так как 4:2, но 2?4, то отношение не симметрично. Так как 2:(-2) и (-2):2, но (-2)^2, то отношение не является антисимметричным.

Однако на множестве N натуральных чисел имеем антисимметричное отношение: Vjt^eN (х:у лу:х ->х=у). Проверьте это утверждение, пользуясь определением делимости. •

Отношение р на множестве А называется транзитивным, если из того, что х находится в отношении р с у, а у находится в отношении р с z, следует, что .V находится в отношении р с z:

Пример 8.1.13. Отношение делимости транзитивно (и на множестве Z и на множестве N): х:у л у : z => x:z. Покажем это. Пусть х:у и y:z. Тогда х=пу и y=kz для некоторых целых чисел п и к. Тогда х = n(kz) = (nk)z = mz, где т есть целое число. Поэтому xz.

Отношение включения множеств также транзитивно: XcY л YcZ => XezZ. Докажите.

Отношение «Числа х и у противоположны» не является транзитивным. Контрпример: х=2,у=-2, 2=2. Тогда числа 2 и (-2) противоположны, а также (-2) и 2 противоположны. Но числа х=2 и z=2 нс являются противоположными. •

Пример 8.1.14. Рассмотрим некоторые примеры отношений из предыдущего пункта.

Отношение из примера 8.1.3 антирефлексивно и симметрично. Отношение из примера 8.1.4 антирефлексивно и антисимметрично. Ни одно из этих отношений нс транзитивно. Докажите это, рассмотрев соответствующие контрпримеры. •

Некоторым отношениям, обладающим одновременно рядом свойств, даны общие называния. Из рассмотренных выше примеров одновременно свойствами рефлексивности, антисиммегричности и транзитивности обладают отношение включения множеств с и отношение делимости на множестве N. Также этими тремя свойствами обладает отношение «х меньше либо равно у», определенное на множестве R (или на любом его подмножестве):

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка.

Множество А, на котором задано отношение порядка р, называется упорядоченным множеством. Пишут (А, р).

В настоящее время теория упорядоченных множеств — это большой раздел математики, которому посвящены целые книги. Мы отметим лишь ряд особенностей понятия «упорядоченное множество».

Интуитивно слова «упорядоченное множество» часто понимаются в более узком смысле. Рассмотрим упорядоченную л-ку, составленную из попарно различных элементов. Например, пятерка букв (III,К,О,Л,А) определяет слово ШКОЛА. В этом случае слова «элементы записаны в определенном порядке» понимаются в том смысле, что мы занумеровали их натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5 и расположили в порядке возрастания номеров. Обобщим этот пример.

Пусть дано «-элементное множество А. Занумеровав каким-то образом ею элементы а, а2>а„, мы действительно получим упорядоченное множество, определив отношение порядка следующим образом:

Соотношение понимается так: то, что элемент х связан с другим элементом у, означает, что х записан в кортеже левее у.

Пример 8.1.15. Дано множество /4=<а,б.в,г>. Упорядоченная четверка его различных элементов (б,в,а,г) задаст такое отношение порядка:

Заметим, что порядок не обязан обладать так называемым свойством линейности.

голоса
Рейтинг статьи
Читайте так же:
Не могу разобраться в отношениях с мужчиной. Что поможет придерживаться правила четырех «НЕ»? Как понять, продолжать отношения или нет
Ссылка на основную публикацию